Leonardo Fibonacci di Pisa, fue un matemático pisano que vivió entre los siglos XII y XIII. Se podrán preguntar qué relación tiene un matemático que vivió hace más de setecientos años y la Teoría de Onda de Elliot; la respuesta es: mucha. Fibonacci descubrió una secuencia numérica bastante particular, que Elliot al escribir “Ley de la Naturaleza-El secreto del universo”, describe como la base de su Teoría.

Alrededor del año 1200, Fibonacci publicó su famoso Liber Abacci, donde hacía mención (y sirvió para introducir en Europa) una de las herramientas matemáticas de mayor importancia de la historia: el sistema decimal, llamado también Hindú-Arábigo.

La secuencia Fibonacci, también incluida en Liber Abacci, se presenta como una solución a un problema matemático que hacía referencia a la tasa de reproducción de los conejos bajo determinadas circunstancias. La secuencia puede escribirse así: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc.

Algunas consideraciones interesantes acerca de la secuencia:

• Cada número de la secuencia está formado por la suma de los dos anteriores; la secuencia se inicia con una repetición del número 1. En símbolos, puede escribirse de la siguiente forma: tn = tn-1 + tn-2
• La relación entre un número y su antecesor (tn/tn-1) tiende a Phi= (1+ 5)/ 2 ≅ 1.618, mientras que la relación entre un número y el subsiguiente (tn-1/tn), tienden a 0.618 (el inverso de Phi). Estas relaciones son incumplidas solo en ocasión de los primeros tres números de la serie, mientras que se hace más evidente a medida que los valores son mayores. El resultado de los cocientes entre los números oscilan alternativamente alrededor de dichos valores siendo cada vez más cercanos a los mismos.
• Las relaciones entre números alternos (tn/ tn-2 ó tn-2/ tn) se acercan a 2.618 o a su inverso, 0.382, respectivamente.
• La suma de los diez primeros términos de la sucesión es igual a once veces su séptimo termino (esto se cumple para cualquier secuencia construida como la de Fibonacci, sin importar cuales sean los dos números iniciales).
• Si se toma un número cualquiera de la secuencia a partir del 3, se lo multiplica por 4 y se le adiciona el número correspondiente a tres términos anteriores, se obtiene el número de la secuencia ubicado tres lugares más adelante. Algebraicamente: tn*4 + tn-3= tn+3. Por ejemplo: 8*4+2=34.7

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD (es decir un rectángulo cuya base está en proporción áurea, siendo la definición de ésta: “dos números A y B están en la proporción de oro si A + B es a A los mismo que A es a B”; utilizando la figura siguiente:

BA/EA=EA/BE) y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.

Fuente: Página web: http://imkb.hypermart.net/elliott/train.htm

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas, y finalmente, a los analistas técnicos de mercados. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector8 con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). Se expone lo predicho en la siguiente
figura:

d1 = r1 + r3; d2 = r2 + r4

Fuente: Página web: http://imkb.hypermart.net/elliott/train.htm

La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.9 J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba. Cuando veamos en detalle la Teoría de Onda, podremos ver la importancia de la Secuencia y de la Espiral logarítmica.